Question

如图，在三棱台A₁B₁C₁－ABC中，已知A₁A⊥底面ABC，A₁A= A₁B₁= B₁C₁=a，B₁B⊥BC，且B₁B和底面ABC所成的角45º，求这个棱台的体积．

Answer 1

．

解：因为A₁A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A₁A⊥BC．又BC⊥BB₁，且棱AA₁和BB₁的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A₁ABB₁，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．

∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB₁就是BB₁和底面ABC所成的角，
∠ABB₁=45º．                                                   ——3分
作B₁D⊥AB交AB于D，则B₁D∥A₁A，故B₁D⊥底面ABC．
∵ Rt△B₁DB中∠DBB₁=45º，
∴DB=DB₁=AA₁=a，                      
∴AB=2a．                   ——6分
由于棱台的两个底面相似，故
Rt△ABC∽Rt△A₁B₁C₁．
∵B₁C₁=A₁B₁=a，AB=2a，
∴BC=2a．
∴S_上=A₁B₁×B₁C₁=．
S_下=AB×BC=2a²．                                                ——8分
V棱台=·A₁A·
=·a·                            ——10分