Question

已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆方程为。

（2）在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数.

【解析】

试题分析：（1）∵椭圆离心率为，

∴，∴.        1分

又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.        2分

所以.                          4分

∴椭圆方程为，即.           5分

（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数.   6分

证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，

∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，

由 得.      7分

设，则      8分

∵

∴              9分

=

=

=

=                 10分

设常数为t，则.                11分

整理得对任意的k恒成立，

解得，                    12分

即在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数.       13分

考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了a,bac的方程组。（2）作为研究，应用韦达定理，建立了m的函数式，利用函数观点，求得m的值，肯定存在性，使问题得解。