Question

已知直线x-2y+4=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线l：x=5分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，Q点在椭圆上运动，记△BPQ的面积为S，当S在（0，+∞）上变化时，讨论S的大小与Q点的个数之间的关系．

Answer 1

分析：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），由此能求出椭圆C的方程．
（2）线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k）．由题设条件可以求出 N(5，-

1

4k

)，求得|MN|，再由均值不等式进行求解．
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=

1

6

，设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0
联立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0，利用△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

最后即可解决问题．

解答：解：（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），
∴a=4，b=2，
故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1
（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k），设P（x₀，y₀），则kAP•kBP=

y0

x0+4

•

y0

x0-4

=

y02

x02-16

=-

1

4

，∴直线BP的方程为：y=-

1

4k

(x-4)，
得N(5，-

1

4k

)
∴|MN|=|9k+

1

4k

|=9k+

1

4k

≥2

9k• 1 4k

=3
当且仅当9k=

1

4k

即k=

1

6

时等号成立
∴k=

1

6

时，线段MN的长度取最小值3．
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=

1

6

，此时直线BP的方程为3x+2y-12=0，P(

16

5

，

6

5

)，|BP|=

2

5

13

设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0
联立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

当t=-4

10

时，BP与l'的距离为

4 10 -12

13

，此时S_△BPQ=

4

5

(

10

-3)
当t=4

10

时，BP与l'的距离为

4 10 +12

13

，此时S_△BPQ=

4

5

(

10

+3)
∴当0＜s＜

4

5

(

10

-3)时，这样的Q点有4个
当S=

4

5

(

10

-3)时，这样的Q点有3个
当

4

5

(

10

-3)＜s＜

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点有2个
当S=

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点有1个
当S＞

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点不存在．

点评：本题考查椭圆与直线的位置关系，（3）解答关系是利用方程的思想转化成根的判别等于0的问题，另外解题时要注意公式的灵活运用．