Question

抛物线y²=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）．

Answer 1

分析：（1）先设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中点M（x₀，y₀），将焦点弦AB的直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线，从而解决问题．
（2）先利用斜率公式得出k_FN=

y0

-p

，再分类讨论：当x₁=x₂时，显然FN⊥AB；当x₁≠x₂时，证出k_FN•k_AB=-1．从而知FN⊥AB成立．

解答：证明：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中点M（x₀，y₀），焦点F的坐标是（

p

2

，0）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得ky²-2py-kp²=0．
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C（-

p

2

，y₁）、D（-

p

2

，y₂）、N（-

p

2

，y₀）．
∵kOA=

y1

x1

=

y1

y12 2p

=

2p

y1

，kOD=

y2

- p 2

，
由ky²-2py-kp²=0
得y₁y₂=

-kp2

k

=-p²，
∴k_OA=k_OD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．----（6分）
（2）k_FN=

y0

-p

，当x₁=x₂时，显然FN⊥AB；
当x₁≠x₂时，k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

1 2p (y22-y12)

=

2p

y1+y2

=

p

y0

，
∴k_FN•k_AB=-1．
∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．----（12分）

点评：本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线垂直，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于基础題．