Question

抛物线y=-

1

2

x2与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程以及线段AB的长．

Answer 1

分析：设直线l的方程为y=kx-1，交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-1 y=- 1 2 x2

，得x²+2kx-2=0，由题意可得k_OA+k_0B=2，由斜率公式韦达定理可得k的方程，解出k，从而可得直线方程，利用弦长公式可求|AB|．

解答：解：由题意，可设直线l的方程为y=kx-1，直线l与双曲线y=-

1

2

x2的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 y=- 1 2 x2

，得x²+2kx-2=0，
则

△=4k2+8＞0 x1+x2=-2k x1x2=-2

，
∵k_OA+k_0B=2，
∴

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2，即2k-

x1+x2

x1x2

=2k-

-2k

-2

=k=2，
所以k=2，l的方程为y=2x-1，
|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

(-4)2-4×(-2)

=2

30

，
所以线段AB的长为2

30

．

点评：本题考查弦长公式、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生运用知识解决问题的能力．