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    已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+
    y2
    2
    =1    在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-
    		2
    的直线l与C交于A、B两点，点P满足
    OA
    +
    OB
    +
    OP
    =
    0
    ．
    （Ⅰ）证明：点P在C上；
    （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
    证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
    椭圆C：x2+
    y2
    2
    =1     ①，则直线AB的方程为：y=-
    		2
    x+1 ②
    联立方程可得4x2-2
    		2
    x-1=0，
    则x1+x2=
    		2
    2
    ，x1×x2=-
    1
    4

    则y1+y2=-
    		2
    （x1+x2）+2=1
    设P（p1，p2），
    则有：
    0A
    =（x1，y1），
    0B
    =（x2，y2），
    0P
    =（p1，p2）；
    ∴
    0A
    +
    0B
    =（x1+x2，y1+y2）=（
    		2
    2
    ，1）；
    0P
    =（p1，p2）=-（
    0A
    +
    0B
    ）=（-
    		2
    2
    ，-1）
    ∴p的坐标为（-
    		2
    2
    ，-1）代入①方程成立，所以点P在C上．

    （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
    设线段AB的中点坐标为（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ），即（
    		2
    4
    ，
    1
    2
    ），
    则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y-
    1
    2
    =
    		2
    2
    （x-
    		2
    4
    ），即y=
    		2
    2
    x+
    1
    4
    ；③
    ∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
    则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=-
    		2
    2
    x④；
    ③④联立方程组，解之得：x=-
    		2
    8
    ，y=
    1
    8

    ③④的交点就是圆心O1（-
    		2
    8
    ，
    1
    8
    ），
    r2=|O1P|2=（-
    		2
    2
    -（-
    		2
    8
    ））2+（-1-
    1
    8
    ）2=
    3
    		11
    8

    故过P Q两点圆的方程为：（x+
    		2
    8
    ）2+（y-
    1
    8
    ）2=
    3
    		11
    8
    …⑤，
    把y=-
    		2
    x+1…②代入⑤，
    有x1+x2=
    		2
    2
    ，y1+y2=1
    ∴A，B也是在圆⑤上的．
    ∴A、P、B、Q四点在同一圆上．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知F1，F2为椭圆x2+
    y2
    2
    =1    上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）
    A．
    		2
    2
    		B．
    		2
    		C．1D．2
    		2

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知k∈R，当k的取值变化时，关于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}．
    （1）求M中点（x，y）的轨迹方程；
    （2）设P={（x，y）|y=2x+a，a为常数}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值为
    		5
    ，求a的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
    （1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
    （2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知
    NA
    =λ1
    AF
    ，
    NB
    =λ2
    BF
    ，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的一个顶点A的坐标是（0，-1），且右焦点Q到直线x-y+2
    		2
    =0的距离为3．
    （1）求椭圆方程；
    （2）试问是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与椭圆M有两个不同的交点B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范围，若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    1
    2
    ，短轴长为2
    		3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）d的离心率为
    		2
    2
    ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（
    		2
    +1    ）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
    （1）求椭圆和双曲线的标准方程；
    （2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知椭圆
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    ，F是右焦点，若直线L过F与椭圆相交于A，B两点，且
    AF
    =2
    FB
    ，则直线L的方程为：______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当KPM•KPN=-
    1
    4
    时，则椭圆方程为（　　）
    A．
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1    		B．
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    		C．x2+
    y2
    4
    =1    		D．
    x2
    4
    +y2=1

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