Question

（2012•天河区三模）已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（

3π

2

-x）-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，得到f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．再由三角函数的周期公式和单调区间公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求出当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数f（x）在上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（

3π

2

-x）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．…..（3分）
可得f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…..（5分）
又∵由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．
由

π

4

≤x≤

3π

4

，得

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

．…..（8分）
∴当2x+

π

4

=

3π

4

，即x=

π

4

时，函数f（x）有最大值是1；…..（10分）
当2x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

8

时，函数f（x）有最小值是-

2

．…..（11分）
综上所述，函数f（x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的最大值是1，最小值是-

2

．…..（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调区间，并求闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．