Question

11．AC′是正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线，选取正方体的某三条棱的中点M，N，P组成三角形，使△MNP所在的平面垂直于AC′．满足上述条件的不同的△MNP一共有3个．

Answer 1

分析 作出图形，利用线面垂直的判定定理进行判断．

解答 解：由题意，连结DB，AC，

∵M，N分别为中点，
∴MN∥BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵AA′⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA′⊥BD，
∵AA′∩AC=A，
∴BD⊥平面AC′，
∴BD⊥AC′，
∵MN∥BD，
∴AC′⊥MN，
同理可证AC′⊥MF，AC′⊥NF，
∵MF∩NF=F，MF?平面MNF，NF?平面MNF，
∴AC′⊥平面MNF，故①正确．
④中由①中证明可知AC′⊥MP，
∵MN∥BD，BD⊥AC′，
∴AC′⊥MN，
∴AC′⊥平面MNP，
同理可证明⑤中AC′⊥平面MNP，
∴满足上述条件的不同的△MNP一共有3个．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生空间思维能力和观察能力．