Question

已知数列

8•1

12•32

，

8•2

32•52

，…，

8•n

(2n-1)2•(2n+1)2

，…，S_n为该数列的前n项和，
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄，
（2）根据计算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析：（1）按照数列和的定义计算即可
（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．

解答：解：（1）S₁=

8•1

12•32

=

8

9

，
S₂=

8

9

+

8•2

32•52

=

24

25

，
S₃=S₂++

8•2

52•72

=

48

49

，
S₄=S₃++

8•3

72•92

=

80

81

．
推测S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（5分）
（1）当n=1时，S₁=

(2+1)2-1

(2+1)2

=

8

9

，等式成立
（2）假设当n=k时，等式成立，
即S_k=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

，那么当n=k+1时，
S_k+1=S_k+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+3)2-1

(2k+3)2

=

[2(k+1)+1]2-1

[2(k+1)+1]2

也就是说，当n=k+1时，等式成立．
根据（1）和（2），可知对一切n∈N*，等式均成立…（10分）

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．