Question

（12分）四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

（1）求证AB⊥面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的正切值．

Answer 1

解：（1）证法一：由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，                                    ……1分

而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥底面ABCD ，从而VE⊥AB        ……2分

又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，且               ……3分

故AB⊥面VAD                                                 ……4分

证法二：面ABCD是正方形，则AB⊥AD                      ……1分

平面VAD⊥底面ABCD且交线为AD，                          ……2分

面VAD                                                ……4分

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，

设VD的中点为F，连AF，BF，            …… 5分

由△VAD是正三角形，则AF⊥VD，        ……6分

由三垂线定理知BF⊥VD，                 ……7分

故∠AFB是二面角A-VD-B的的平面角     ……8分

设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，
AB=a,  AF=a，                       ……9分

tan∠AFB =            ……11分

故二面角A-VD-B的正切值为        ……12分