Question

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

Answer 1

分析：（1）由频率的意义可知，每小组的频率=

频数

总人数

，由此计算填表中空格；
（2）先算出第3、4、5组每组学生数，分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数，求得第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）根据概率公式计算，事件“六位同学中抽两位同学”有15种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选”可能种数是9，那么即可求得事件A的概率．

解答：解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，（1分）
第3组的频率为

30

100

=0.300，（2分）
频率分布直方图如图所示：（5分）
（2）因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组：

30

60

×6=3人，（6分）
第4组：

20

60

×6=2人，（7分）
第5组：

10

60

×6=1人，（8分）
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
（3）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，
第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），
（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），（10分）
其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（B₁，B₂），（A₃，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），9中可能，（12分）
所以其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的概率为

9

15

=

3

5

．（15分）

点评：此题考查了对频数分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

m

n

．