Question

已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．
（1）当α+β=

π

4

，求tanβ的值；
（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）将α+β=

π

4

代入已知等式，并且以

π

4

-β代替α，化简整理可得β的正弦和余弦的关系，利用同角三角函数的商数关系，可得tanβ的值；
（2）用两角和的余弦公式将已知等式展开，再在两边都除以cosβ，得tanβ关于α的正弦和余弦的分式表达式，用同角三角函数的关系将此式化成并于tanα的表达式，最后用基本不等式求出tanβ取最大值，从而得到此时的tan（α+β）的值．

解答：解：（1）∵α+β=

π

4

，且sinβ=sinαcos（α+β）．
∴sinβ=

2

2

sin（

π

4

-β），整理得

3

2

sinβ-

1

2

cosβ=0，
∵β为锐角，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

．
（2）由题意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
两边都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+ 1 tanα

∵α是锐角，∴2tanα+

1

tanα

≥2

2tanα• 1 tanα

=2

2

因此，tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

≤

1

2 2

=

2

4

．
当且仅当

1

tanα

=2tanα时，取“=”号，
∴tanα=

2

2

时，tanβ取得最大值

2

4

，
由此可得，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

．

点评：本题给出α、β的正弦余弦的表达式，求β的正切最大值并求此时α+β的正切值，着重考查了两角和与差的余弦、两角和的正切公式和同角三角函数的关系等知识，属于基础题．