Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数G（x）=h（x）+f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=2，问是否存在实数t＞0，使得函数F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有两个相异的零点？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分别把f（x）和h（x）的解析式代入G（x）中，求出函数的定义域及G′（x）=0时x的值，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的值即为函数的减区间；
（II）先假设存在t符合条件，根据题意求出F（x）的解析式和定义域，再进行求导并对其整理，再由定义域和条件进行转化：有两个相异的正实根，利用韦达定理表示出两根之和、积，并判断出符号，再对t分类讨论进行说明．
解答：解：（Ⅰ）由题意，
∴G（x）的定义域为，
=，
由G^′（x）=0得，，
，∴，
∴，，
由G^′（x）＞0得，或；由G^′（x）＞0得，，且x≠0，
∴G（x）在上是增函数，
在上是减函数；
（Ⅱ）假设存在实数t＞0，使得函数（x＞0）有
相异的零点为x₁，x₂，则x₁＞0，x₂＞0，
∴==，
令y=，
由题意得，F^′（x）=0有两个相异的正实根，
即有两个相异的正实根，
∴t≠1，且，
∴当0＜t＜1时，有1-t＞0，则，故舍去；
当t＞1时，有1-t＜0，则，故舍去，

综上，不存在t＞0满足条件．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查存在性问题，突出考查构造函数与转化，分类讨论数学思想及综合分析与运算的能力，属于难题．