Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₃a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）b_n-b_n-1=log₃3^n-1=n-1（n≥2），由数列的恒等式b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1），由等差数列的求和公式，计算即可得到所求；
（3）na_n=n•3^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+1=2S_n+1，可得a₂=2a₁+1=3，
a₃=2（a₁+a₂）+1=2×（1+3）+1=9，
当n＞1时，a_n=2S_n-1+1，
相减可得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即a_n+1=3a_n，因为$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，则a_n+1=3a_n，
所以{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
则a_n=3^n-1；
（2）数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₃a_n（n≥2），
即有b_n-b_n-1=log₃3^n-1=n-1（n≥2），
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1）
=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$；
显然b₁=0符合上式，所以b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$；
（3）na_n=n•3^n-1，
前n项和T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
两式相减可得，-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ，
化简可得，T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，以及数列的恒等式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．