Question

已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，则不等式f（1-x）＜0的解集为

（-∞，0）

．

Answer 1

分析：根据题意，当实数x₁、x₂，满足x₁＜x₂时有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定义在R上的减函数．而f（x+1）是定义在R上的奇函数，可算出f（1）=0，从而不等式f（1-x）＜0即f（1-x）＜f（1），结合f（x）的单调性即可得到原不等式的解集．

解答：解：∵任意给定的不等实数x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
∴任意实数x₁、x₂，满足x₁＜x₂时有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定义在R上的减函数
∵f（x+1）是定义在R上的奇函数，
∴f（x+1）=-f（1-x）对x∈R恒成立．令x=0，得f（1）=0
因此，不等式f（1-x）＜0即f（1-x）＜f（1）
∵f（x）是定义在R上的减函数
∴1-x＞1，解之得x＜0，原不等式的解集为（-∞，0）
故答案为：（-∞，0）

点评：本题给出抽象函数，在已知函数的单调性和奇偶性的情况下解关于x的不等式，着重考查了函数的基本性质和抽象不等式的解法等知识，属于基础题．