Question

7．已知$f（x）=\frac{x}{x+2}（x≥0）$
（1）比较f（3）与$f（\sqrt{10}）$的大小；
（2）求证：$\frac{|x|}{2+|x|}+\frac{|y|}{2+|y|}≥\frac{{|{x+y}|}}{{2+|{x+y}|}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出f（3）与$f（\sqrt{10}）$的值，再比较f（3）与f（$\sqrt{10}$）的大小；
（2）利用绝对值不等式和放缩法，即可证明$\frac{|x|}{2+|x|}+\frac{|y|}{2+|y|}≥\frac{{|{x+y}|}}{{2+|{x+y}|}}$．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x}{x+2}（x≥0）$，
∴f（3）=$\frac{3}{3+2}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{3}}$，
$f（\sqrt{10}）$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}+2}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{10}}}$；
又∵3＜$\sqrt{10}$，
∴1+$\frac{2}{3}$＞1+$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∴$\frac{1}{1+\frac{2}{3}}$＜$\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{10}}}$，
即f（3）＜f（$\sqrt{10}$）；
（2）证明：∵$\frac{|x|}{2+|x|}$+$\frac{|y|}{2+|y|}$≥$\frac{|x|}{2+|x|+|y|}$+$\frac{|y|}{2+|x|+|y|}$
=$\frac{|x|+|y|}{2+|x|+|y|}$
=$\frac{1}{\frac{2}{|x|+|y|}+1}$≥$\frac{1}{\frac{2}{|x+y|}+1}$
=$\frac{|x+y|}{2+|x+y|}$；
∴$\frac{|x|}{2+|x|}+\frac{|y|}{2+|y|}≥\frac{{|{x+y}|}}{{2+|{x+y}|}}$．

点评 本题考查了函数值大小的比较，也考查了绝对值不等式的证明与应用问题，是基础题目．