Question

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=2，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）求二面角B-EC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

解答：（I）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）解：以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=2，M为CE的中点，
∴B（1，1，0），E（0，0，2），C（0，2，0），D（0，0，0），
∴

EC

=（0，2，-2），

EB

=（1，1，-2），
设平面EBC的法向量为

n 1

=（x，y，z），则

EC

•

n 1

=0，

EB

•

n 1

=0，
∴

2x-2z=0 x+y-2z=0

，∴

n 1

=（1，1，1），
设二面角B-EC-D的平面角为α，
∵平面EDC的法向量为

n 2

=（1，0，0），
∴cosα=|cos＜

n 1

，

n 2

＞|=|

1

3

|=

3

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．