Question

8．双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，过双曲线的右焦点且斜率为$\frac{\sqrt{15}}{5}$的直线交双曲线于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线方程．

Answer 1

分析 先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，再根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b²-3a²=0，可推出矛盾；若5b²-3a²≠0，设其两根为x₁，x₂，则由根与系数的关系可利用a、b、c表示出x₁+x₂及x₁x₂，进一步由OP⊥OQ即斜率乘积为-1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c²=a²+b²，最后解a、b、c的方程组即可．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
依题意知，过双曲线的右焦点且斜率为$\frac{\sqrt{15}}{5}$的直线y=$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-c），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理得（5b²-3a²）x²+6a²cx-（3a²c²+5a²b²）=0 ①．
若5b²-3a²=0，则$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b²-3a²≠0．
设方程①的两个根为x₁，x₂，则有
x₁+x₂=-$\frac{6{a}^{2}c}{5{b}^{2}-3{a}^{2}}$②，x₁x₂=-$\frac{3{a}^{2}{c}^{2}+5{a}^{2}{b}^{2}}{5{b}^{2}-3{a}^{2}}$③，
由于P、Q在直线y=$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-c）上，可记为
P（x₁，$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₁-c）），Q（x₂，$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₂-c））．
由OP⊥OQ得$\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}（{x}_{1}-c）}{{x}_{1}}$•$\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}（{x}_{2}-c）}{{x}_{2}}$=-1，
整理得3c（x₁+x₂）-8x₁x₂-3c²=0  ④．
将②，③式及c²=a²+b²代入④式，并整理得
3a⁴+8a²b²-3b⁴=0，即（a²+3b²）（3a²-b²）=0．
因为a²+3b²≠0，解得b²=3a²，
所以c=2a．
由|PQ|=4，得（x₂-x₁）²+[$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₂-c）-$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₁-c）]²=4²．
整理得（x₁+x₂）²-4x₁x₂-10=0  ⑤．
将②，③式及b²=3a²，c=2a代入⑤式，解得a²=1．
将a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．