Question

已知α∈[

π

6

，

π

4

]，且关于x的方程x²sinα-xcosα+k=0有唯一实数解．
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）设该方程的唯一实数解为β，若α＜tβ恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意△=cos²α-4ksinα=0，得k=

1-sin2α

4sinα

，又sinα∈[

1

2

，

2

2

]，可解得k的范围．
（Ⅱ）由题意可得(x-

cosα

2sinα

)2=0，有α＜t

cosα

2sinα

恒成立，由于不等式α恒大于0，

cosα

2sinα

随α增大而减小，因此只需α=

π

4

时不等式成立即可，从而解得实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵二次函数有唯一解，判别式为0，即△=cos²α-4ksinα=0，
∴k=

cos2α

4sinα

=

1-sin2α

4sinα

，又sinα∈[

1

2

，

2

2

]，
∴k∈[

2

8

，

3

8

]．
（Ⅱ）方程有唯一实数解，从而推得(x-

cosα

2sinα

)2=0，即有β=

cosα

2sinα

，
∴α＜t

cosα

2sinα

恒成立，由于不等式α恒大于0，

cosα

2sinα

随α增大而减小，因此只需α=

π

4

时不等式成立即可，
∴

π

4

＜

t

2

，
∴可解得：t＞

π

2

．

点评：本题主要考察了函数的性质及应用，不等式的解法及应用，三角函数的图象与性质，综合性强，考察了转化思想，属于难题．