Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD。

Answer 1

证明：（1）取PD的中点E，连接AE，EN，
∵N为中点，
∴EN为△PDC的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE，
又∵，
∴MN∥平面PAD。
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，取CD的中点F，连接NF，MF，
∴NF∥PD，
∴CD⊥NF，
又∵，
∴CD⊥平面MNF，
∵，
∴MN⊥CD。