Question

已知

m

=（cosx，

3

sinx），

n

=（cosx，cosx），设f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的图象的对称轴及其单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域及取得最大值时x的值；
（3）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=

6

-

2

，f（A）=

1

2

，试求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）=

m

•

n

求f（x）解析式，求出为f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，再根据基本正弦函数的对称轴求
f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的对称轴．
（2）先根据x∈[0，

π

2

]，求2x+

π

6

的范围再根据基本正弦函数的求f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

的范围．
（3）先根据f（A）=

1

2

，以及A的范围求角A，再求角A的正弦值，最后用面积公式求出△ABC的面积S．

解答：解：（1）因为f（x）=

m

•

n

=cosxcosx+

3

cosxsinx=cos2x+

3

sinxcosx
=

cos2x+ 3 sin2x-1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

  
  所以对称轴方程：x=

π

6

+

kπ

2

（k∈Z）
   单调递增区间为(-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ)（k∈Z）
  （2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
   sin(2x+

π

6

)+

1

2

∈[0，

3

2

]
所以，当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

，sin(2x+

π

6

)+

1

2

有最大值为

3

2

f（x）的值域为[0，

3

2

]，x=

π

6

是取得最大值
  （3）因为f（A）=

1

2

，所以sin(2A+

π

6

)+

1

2

=

1

2

，所以A=

5π

12

sin

5π

12

=sin（

π

4

+

π

6

）=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

s_△ABC=

1

2

b•csin

5π

12

=

1

2

（

6

-

2

）

6 + 2

4

=

1

2

所以△ABC的面积为

1

2

．

点评：本题考查了三角函数性质的应用，以及三角形面积公式的应用，做题时看清题意，认真解答．