Question

12．已知α∈R，关于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为（30，33]．

Answer 1

分析 二次函数f（x）=2x²-17x+a的对称轴为x=$\frac{17}{4}$，关于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数为3，4，5，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵关于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，
∴△=289-8a＞0，解得a＜$\frac{289}{8}$．
∵二次函数f（x）=2x²-17x+a的对称轴为x=$\frac{17}{4}$，
∴关于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数为3，4，5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=2×9-17×3+a≤0}\\{f（6）=2×36-17×6+a＞0}\end{array}\right.$，且f（2）＞0，f（5）≤0，
解得30＜a≤33．
∴实数a的取值范围是（30，33]．
故答案为：（30，33]．

点评 本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．