Question

点P为直线上任意一点，点A（0，0），B（3，0），则∠APB的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：设经过A、B两点的圆为圆M，且圆M直线相切于点P，根据平面几何知识可得：当动点P与点P重合时，∠APB的最大．然后设出圆M方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用点A（0，0）和B（3，0）在圆M上，解出D=-3且F=0，再利用圆心到直线的距离等于半径解出E的值，从而得到圆M的方程．最后联解直线与圆M的方程，得到切点P坐标为（0，），在Rt△PAB中利用正切定义求出最大角为．
解答：解：如图，作出经过A、B两点的圆M，且圆M直线相切于点P，
动在直线上运动，则点P与点P重合时，∠APB的最大．
证明如下：当点P位于圆M外时，设PB交圆M于点C，
连接AC，则∠APB=∠ACB＞∠APB，所以∠APB是∠APB的最大值．
设圆M方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，据题意得：
⇒D=-3且F=0
∴圆M方程为：x²+y²-3x+Ey=0，圆心M（，-），半径为
∵圆M直线相切，即与直线相切，
∴⇒E=-，
所以，圆M方程为：x²+y²-3x-y=0，再由
联解，得，所以点P坐标为（0，）．
此时，在Rt△PAB中有tan∠APB==
∴∠APB=，即∠APB的最大值为
故答案为：
点评：本题借助于一个动点到两个定点的张角的最大值的问题为载体，着重考查了直线与圆的位置关系和三角函数的基本概念等知识点，属于中档题．