Question

定义在R₊上的函数f（x）对任意实数a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求证：f（x）为减函数．
（3）当f（4）=-2时，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1．

Answer 1

分析：（1）利用抽象解析式求函数值f（1），可利用赋值法，令a=b=1．
（2）证明单调性，利用定义设出x₁＜x₂，关键是利用f（ab）=f（a）+f（b），构造出f（x₂）-f（x₁）的式子，可得f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)，从而可得证明结果．
（3）的求解要充分利用（2）的结论，脱去函数符号以及得出-1=f（2），进而转化为不等式组求解是关键所在．

解答：解：（1）由题意令a=b=1得，
f（1×1）=f（1）+f（1），
得f（1）=0．
（2）设x₁，x₂∈R₊，x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
所以f(

x2

x1

)＜0，
故f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f（x₁），
所以f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)＜0，
 所以f（x₂）＜f（x₁），从而f（x）为R₊上的减函数．
（3）由已知f（4）=f（2•2）=f（2）+f（2）=-2，得f（2）=-1，
所以原不等式化为：f（（x-3）•5）≥f（2），
又有（2）的结论可得：

x-3＞0 5＞0 5(x-3)≤2

，
解之得：3＜x≤

17

5

．

点评：本题考查函数的概念，函数的求值，单调性的判断与证明，注重考查了抽象函数的概念，解抽象不等式问题．