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精英家教网如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A、B两点,P在圆O上运动(不与A、B重合),过P作直线l1,OS垂直于l1交直线l2:x=-3于点S.
(1)求证:“如果直线l1过点T(-1,0),那么
OP
PS
=1
”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
分析:(1)设P(x0,y0),则x02+y02=2,当x0=-1时,求出S的坐标,化简
OP
PS 
的解析式.当x0≠-1时,求出S的坐标,
化简
OP
PS 
的解析式.
(2)先写出逆命题,设S(-3,t),P(x0,y0)(y0≠0),由
OP
PS 
=1,及x02+y02=2,得出t=
3+3x0
y0

当当x0=-1时,直线l1的方程知过点(-1,0);当x0≠-1时,由直线l1的方程知过点(-1,0).
解答:证明:(1)设P(x0,y0)(y0≠0),则x02+y02=2.当x0=-1时,
∵直线l1过点T(-1,0),∴S(-3,0),即
PS
=(-3-x0,-y0)

OP
PS
=-3x0-x02-y0
2=1.
当x0≠-1时,∵直线l1过点T(-1,0),∴直线l1的斜率k1=
y0
x0+1

∴直线OS的斜率k=-
x0+1
y0
,其方程为 y=-
x0+1
y0
x,
S(-3,
3x0+3
y0
)
,即
PS
=(-3-x0
3x0+3
y0
-y0)

OP
PS
=-3x0-x02+3x0+3-y02=3-2=1.
故“如果直线l1过点T(-1,0),那么
OP
PS
=1”为真命题.

(2)逆命题为:如果
OP
PS
=1,那么直线l1过点T(-1,0).逆命题也为真命题,以下给出证明:
设S(-3,t),P(x0,y0)(y0≠0),则
PS
=(-3-x0,t-y0)

OP
PS
=1,∴-3x0-x02+ty0-y02=1,又x02+y02=2,
∴t=
3+3x0
y0
.当x0=-1时,直线l1的方程为x=-1,显然过点(-1,0);
当x0≠-1时,直线OS的斜率k=
x0+1
-y0
,∴直线l1的方程为y-y0=
y0
x0+1
(x-x0)
,令y=0,得x=-1,
∴直线l1过定点(-1,0).综上,直线l1恒过定点(-1,0).
点评:本题考查直线和圆相交的性质,四种命题的真假关系,两个向量的数量积的运算以及求两直线交点的坐标.
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(1)边长为
2
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①求轨迹E的方程;
②过轨迹E上一定点P(x0,y0)作相互垂直的两条直线l1,l2,并且使它们分别与圆O、轨迹E相交,设l1被圆O截得的弦长为a,设l2被轨迹E截得的弦长为b,求a+b的最大值.
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2
2
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(本小题满分15分)如图,已知圆Ox2+y2=2交x轴于AB两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其右焦点为F.若点P(-1,1)为圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.(1)求椭圆C的标准方程;

(2)证明:直线PQ与圆O相切.

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过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q

(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:直线PQ与圆O相切.

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