Question

（1）已知a＞0，b＞0，求证：

a2+b2 2

≥

a+b

2

；
（2）已知a＞1，b＞1，且a＞b，试比较a+

1

a

与b+

1

b

的大小．

Answer 1

分析：（1）由基本不等式得到2（a²+b²）≥a²+2ab+b²进一步有：

a2+b2 2

≥

a+b

2

；
（2）由于a+

1

a

-(b+

1

b

)=(a-b)+(

1

a

-

1

b

)=(a-b)+

b-a

ab

=(a-b)(1-

1

ab

)=(a-b)•

ab-1

ab

，下面利用条件证明(a-b)•

ab-1

ab

＞0即可．

解答：解：（1）a²+b²≥2ab⇒2（a²+b²）≥a²+2ab+b²
⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒

a2+b2

2

≥(

a+b

2

)2…（3分）
由于a＞0，b＞0⇒a+b＞0，故

a2+b2 2

≥

a+b

2

…（4分）
（2）解：由于a+

1

a

-(b+

1

b

)=(a-b)+(

1

a

-

1

b

)
=(a-b)+

b-a

ab

=(a-b)(1-

1

ab

)=(a-b)•

ab-1

ab

，…（8分）
因为a＞1，b＞1⇒ab＞1⇒ab-1＞0且ab＞0，又a＞b⇒a-b＞0，
所以(a-b)•

ab-1

ab

＞0．
故a+

1

a

＞b+

1

b

…（10分）

点评：本题主要考查了基本不等式、不等式比较大小，属于基础题，解答的关键是需要同学们对不等式的证明方法非常熟练．