Question

若函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为7，则a=________．

Answer 1

2或
分析：由已知中函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值是7，我们利用换元法，及二次函数的性质，我们易构造关于a的方程，解方程即可得到答案．
解答：令t=a^x，则t＞0，则y=a^2x+2a^x-1=t²+2t-1=（t+1）² -2 （t＞0）．
当0＜a＜1时，∵x∈[-1，1]，∴a≤t≤，此时f（t）在[a，]上单调递增，
则y_max=f（）=+-1=7，解得：=2，或=-4（舍）∴a=．
当a＞1时，∵x∈[-1，1]，∴≤t≤a，此时f（t）在[，a]上单调递增，
则y_max=f（a）=a²+2a-1=7，解得：a=2，或a=-4（舍），∴a=2．
综上：a=，或a=2，
故答案为 或 2．
点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，指数函数的值域，二次函数的单调性，其中利用换元法将已知中的函数化为二次函数是解答本题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．