Question

{a_n}是首项a₁=4的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），设T_n为数列

1

n2(bn-1)

的前n项和，求证：Tn＜

5

4

．

Answer 1

分析：（1）利用已知结合等比数列的求和公式，分q=1和q≠1两种情况进行求解；
（2）先写出b_n的表达式，进而求出

1

n2(bn-1)

的表达式，观察其结构，可利用裂项法求出其前n项和T_n，最后利用不等式的性质求解即可．

解答：解：设数列{a_n}的公比为q，
（1）若q=1，则S₃=12，S₂=8，S₄=16
显然S₃，S₂，S₄不成等差数列，与题设条件矛盾，所以q≠1，（1分）
由S₃，S₂，S₄成等差数列，得2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

，
化简得q²+q-2=0，∴q=-2，或q=1（舍去）（4分）
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹（5分）
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1（6分）
当n≥2时，

1

n2(bn-1)

=

1

n3

＜

1

n(n2-1)

=

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]（10分）
Tn=

1

13

+

1

23

++

1

n3

＜1+

1

2

[(

1

1×2

-

1

2×3

)]+(

1

2×3

-

1

3×4

)++

1

(n-2)(n-1)

-

1

(n-1)n

+

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]
=1+

1

2

[

1

2

-

1

n(n+1)

]＜1+

1

2

×

1

2

=

5

4

（12分）

点评：本题主要考查等比数列知识的应用和数列求和的方法，也考查了不等式的知识，考查了学生的推理论证能力．