Question

（12分）如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线 与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且．

（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：对于任意的割线，恒有；

（3）求三角形△ABF面积的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)     (Ⅱ)略   （Ⅲ）

解析:

（1）∵，∴， 又∵，∴，

∴，∴椭圆的标准方程为．---（4分）

（2）当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设方程为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．----------------------------6分

则

 ，

而

∴，从而．

综合可知：对于任意的割线，恒有．………------------------（8分）

（3），

即：，

当且仅当，

即（此时适合于的条件）取到等号．

∴三角形△ABF面积的最大值是．……--（12分）