Question

设函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）若x∈[3，+∞）时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）是奇函数
由得x＞1或x＜-1，又，∴函数f（x）是奇函数
（2）不妨设，则，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，∴，∴u（x₁）＞u（x₂），
又，∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由题意，x∈[3，+∞）时，不等式恒成立，等价于，解得．
分析：（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再用奇函数的定义判断；（2）不妨设，则可知函数为减函数，又，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）易知取3时，函数取最小值，故可求．
点评：本题主要考查奇函数的定义及单调性的证明，同时考查了分离参数法研究恒成立问题．