Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当x∈[0，

1

3

]时，f(x)≥

3

2

x恒成立．则f(

3

7

)+f(

5

9

)=

 

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）满足的三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当x∈[0，

1

3

]时，f(x)≥

3

2

x恒成立．我们易得f（

1

2

）=

1

2

，结合x∈[0，

1

3

]时，f(x)≥

3

2

x恒成立，可得f（

1

3

）≥

1

2

，又由f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，可得当x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，进而得到答案．

解答：解：∵函数f（x）满足：f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]，则f（

1

2

）=

1

2

，
且当x∈[0，

1

3

]时，f(x)≥

3

2

x恒成立，
则f（

1

3

）≥

1

2

，
又∵函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，
∴当x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

，恒成立，
故f（

3

7

）=

1

2

，f（

4

9

）=

1

2

，则f（

5

9

）=

1

2

，
则f(

3

7

)+f(

5

9

)=1
故答案为1．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知中，函数满足的条件，得到当x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）=

1

2

恒成立，是解答本题的关键．