Question

3．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a²+c²=4ac，三角形的面积为$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}accosB$，则sinAsinC的值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知及三角形面积公式可求tanB=$\sqrt{3}$，结合范围0＜B＜π，可求B=$\frac{π}{3}$，由已知及余弦定理可求b²=3ac．由正弦定理可得sin²B=3sinAsinC，从而得解sinAsinC的值．

解答 解：在三角形ABC中，$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}accosB$=$\frac{1}{2}$acsinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B为三角形内角，
∴0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵a²+c²=4ac，
又∵a²+c²=b²+2accosB，
∴b²+2accosB=4ac，
∴b²=3ac．
由正弦定理可得sin²B=3sinAsinC，
∴sinAsinC=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．