Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，．
求证：（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO；
（3）求三棱锥E﹣PBC的体积．

Answer 1

（1）证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．
因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO平面ABC，
所以，BO⊥面PAC．因为PA平面PAC，故 BO⊥PA．
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，
故 OE∥PC，∴OE∥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）证明：连AF交BE于Q，连QO．
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以=2．
又 Q是△PAB的重心．
于是，=2=，
所以，FG∥QO．
因为FG平面EBO，QO平面EBO，
所以，FG∥平面EBO．
（3）解：由（1）可知PA⊥平面EBO，
所以PE⊥BO，
因为O是线段AC的中点，AB=BC=AC=4，
所以BO⊥AC，
所以BO⊥平面PEC，BO是棱锥的高，BO=．
S_△PEO=S_△PAC=?4?=2．
所以三棱锥E﹣PBC的体积V==．