Question

11．如图，半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D点，将其绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台侧面积的比为3：4，求球的体积与圆台体积之比．

Answer 1

分析 设球半径为R，圆台上底半径为r，圆台下底半径为r′，因为球与圆台上下侧面都相切，所以圆台侧面长l=r+r′，结合已知求出r，r′，R之间的关系式，代入球的体积公式和圆台的体积公式，可得答案．

解答 解：设球半径为R，圆台上底半径为r，圆台下底半径为r′，
因为球与圆台上下侧面都相切，所以圆台侧面长l=r+r′，
又∵球面面积与圆台的侧面积之比为3：4，
∴π﹙r+r′﹚²：4πR²=4：3①
﹙r′-r﹚²+﹙2R﹚²=﹙r+r′﹚²②
解之r′=3r，则R=$\sqrt{3}$r，
V_球=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{12\sqrt{3}π}{3}$r³，
V_台=$\frac{1}{3}$π（r²+r′²+rr′）2R=$\frac{26\sqrt{3}π}{3}$r³，
V_球：V_台=6：13．

点评 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台和球的表面积公式和体积公式，是解答的关键．