Question

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点F，抛物线：x2=4

3

y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点N(

5

2

，0)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件能够求出c=1，b=

3

，从而求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组，由根与系数的关系推导λ₁+λ₂的值．
（Ⅲ）由题设条件想办法证明点N(

5

2

，0)在既直线l_AE上，又在直线l_BD上，∴当m变化时，AE与BD相交于定点(

5

2

，0)．

解答：解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线x2=4

3

y的焦点坐标(0，

3

)，∴b=

3

∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于M(0，-

1

m

)，
设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

?(3m2+4)y2+6my-9=0
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1•y2=-

9

3m2+4

又由

MA

=λ1

AF

∴(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)
∴λ1=-1-

1

my1

同理λ2=-1-

1

my2

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)
∵

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=-

6m

3m2+4

•(-

3m2+4

9

)=

2m

3

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

1

m

•

2m

3

=-

8

3

所以，当m变化时，λ₁+λ₂的值为定值-

8

3

；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵lAE：y-y2=

y2-y1

4-x1

•(x-4)
当x=

5

2

时，y=y2+

y2-y1

4-x1

•(-

3

2

)=

2(4-x1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

2(4-my1-1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

3(y2+y1)-2my1y2

2(4-x1)

=

3× -6m 3m2+4 -2m× -9 3m2+4

2(4-x1)

=0
∴点N(

5

2

，0)在直线l_AE上，
同理可证，点N(

5

2

，0)也在直线l_BD上；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点(

5

2

，0)
方法2）∵kEN=

y2

4- 5 2

=

2y2

3

kAN=

y1

x1- 5 2

=

y1

my1+1- 5 2

=

2y1

2my1-3

kEN-kAN=

2y2

3

-

2y1

2my1-3

=

2y2(2my1-3)-6y1

3(2my1-3)

=

4my1y2-6(y1+y2)

3(2my1-3)

=

4m× -9 3m2+4 -6× -6m 3m2+4

3(2my1-3)

=0
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D也三点共线；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点(

5

2

，0)．

点评：本题是椭圆的综合应用题，有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细作答．