Question

已知曲线E：ax²+by²=1（a＞0，b＞0），经过点M(

3

3

，0)的直线l与曲线E交与点A、B，且

MB

=-2

MA

．
（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程．
（2）若a=b=1，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）设A（x₀，y₀），因为B（0，2），M（

3

3

，0）
故

MB

=（-

3

3

，2），

MA

=（x₀-

3

3

，y₀）．
∵

MB

=-2

MA

．
∴（-

3

3

，2）=-2（x₀-

3

3

，y₀）
∴x₀=

3

2

，y₀=-1，即A（

3

2

，-1）
∵A，B都在曲线E上，所以

a•0+b2 2=1 a•( 3 2 ) 2+b•(-1) 2=1

解得a=1，b=

1

4

∴曲线E的方程为x²+

y2

4

=1
（2）设AB的中点为T，由条件得|TM|=|TA|-|MA|=

1

6

|AB|，|OM|=

3

3

根据Rt△OTA和Rt△OTM得，

|TM|2+|OT|2= 1 3 |TA|2+|OT|2=1

即

1 36 |AB|2+|OT|2= 1 3 1 4 |AB|2+|OT|2=1

，解得|AB|=

3

，|OT|=

1

2

∴在Rt△OTM中，tan∠OMT=

3

，
∴直线AB的斜率为

3

或-

3

∴直线AB的方程为y=

3

x-1或y=-

3

x+1