Question

在多面体ABCDEF中，△ADE是边长为2的等边三角形，EF∥平面ABCD，AB⊥平面ADE，AB=2

2

，EF=

2

．
（1）求证AB∥DC；
（2）求直线BE与平面ABCD所成的角；
（3）若DF⊥FC，求证DF⊥BC．

Answer 1

分析：（1）由线面平行的性质得AB∥EF，同理 CD∥EF，故由AB∥CD．
（2）先证平面ADE⊥平面ABCD，取AD的中点O，，∠EBO为直线BE与平面ABCD所成的角，将此角放到直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角的大小．
（3）利用勾股定理证明DF⊥BF，再根据 DF⊥FC，从而证明DF⊥平面FBC，故DF⊥BC．

解答：解：
（1）证明：∵EF∥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AB∥EF，同理 CD∥EF
AB∥CD．
 （2）∵AB⊥平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABCD，取AD的中点O，连接 EO、BO，
△ADE是等边三角形，EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD，∠EBO为直线BE与平面ABCD所成的角，在△EBO中，
tan∠EBO=

EO

BO

=

3

3

，故直线BE与平面ABCD所成的角等于30°．
（3）∵AB⊥平面ADE，EF∥AB，
∴EF⊥平面ADE，△ADE是边长为2的等边三角形，
BD²=AD²+AB²=4+8=12，DF²=DE²+EF²=4+2=6，
BF²=AE²+（AB-EF）²=4+2=6，∴DF⊥BF．
又 DF⊥FC，BF∩FC=F，∴DF⊥平面FBC，∴DF⊥BC．

点评：本题考查线面平行的性质，求直线和平面所成的角的大小，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的．