Question

（理）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³，若函数g（x）=f（x）=log_a|x|只有4个零点，则a取值范围是

 

．

Answer 1

分析：易求y=f（x）是以4为周期的函数，利用-1≤x＜1时，f（x）=x³，分当1≤x＜3时的解析式，在同一坐标系中，作出y=f（x）与g（x）=log_a|x|的图象，解相应的不等式组即可．

解答：解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数y=f（x）是以4为周期的函数，
又当-1≤x＜1时，f（x）=x³，
∴当1≤x＜3时，-1≤x-2＜1，
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³；
∵g（-x）=log_a|-x|=log_a|x|=g（x），
∴g（x）=log_a|x|为偶函数，

又g（x）=f（x）=log_a|x|只有4个零点，
∴当a＞1时，log_a3＜1＜log_a5，如图，解得3＜a＜5；
当0＜a＜1时，log_a5＜-1＜log_a3＜0，同理解得

1

5

＜a＜

1

3

；
∴实数a的取值范围是（3，5）∪（

1

5

，

1

3

）．
故答案为：（3，5）∪（

1

5

，

1

3

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的周期性与奇偶性，考查作图能力与运算能力，属于难题．