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如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
【答案】分析:(1)(i)根据题意知PQ垂直平分AB,在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP,从而得出y的函数关系式,注意最后要化为最简形式,确定自变量范围.(ii)已知OP,可得出OQ的表达式,由勾股定理推出OA,易得y的函数关系式.
(2)欲确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题,(1)中已求出函数关系式,故可以利用导数求解最值,注意结果应与实际情况相符合.
解答:解:(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),
,故,又OP=10-10tanθ,
所以
所求函数关系式为
②若OP=x(km),则OQ=10-x,所以OA=OB=
所求函数关系式为

(Ⅱ)选择函数模型①,
令y′=0得sin,因为,所以θ=
时,y′<0,y是θ的减函数;当时,y′>0,y是θ的增函数,所以当θ=时,.这时点P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域内且距离AB边km处.
点评:本小题主要考查函数最值的应用.
①生活中的优化问题,往往涉及到函数的最值,求最值可利用单调性,也可直接利用导数求最值,要掌握求最值的方法和技巧.
②在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点也就是最值点.
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(Ⅰ)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
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(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.

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