Question

函数f( x )=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（3）讨论函数y=f（x）在x∈（0，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）将a的值代入函数解析式，利用导数当分析函数的单调性，可求出函数的值域．
（2）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．
（3）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域．

解答：解：（1）当a=-1时，f(x)=2x+

1

x

令f′(x)=2-

1

x2

=0，则x=

2

2

∵x∈（0，

2

2

]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（

2

2

，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=

2

2

时，f（x）取最小值2

2

，无最大值
∴函数y=f（x）的值域为（2

2

，+∞）
（2）∵f′(x)=2+

a

x2

若函数y=f（x）在定义域上是减函数，
则f′（x）＜0即a＜-2x²在定义域上恒成立
而-2x²∈（-2，0）
∴a≤-2
（3）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，
当x=1时取得最大值2-a；
函数的值域是[2-a，+∞）
当-2＜a＜0时，函数y=f（x）在（ 0，

-2a

2

]上单调减，在[

-2a

2

，1]上单调增，无最大值，
当x=

-2a

2

时取得最小值2

-2a

∴当-2＜a＜0时值域是[2

-2a

，+∞）

点评：求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．