Question

7．已知数列{a_n}满足a1=10，a_n-10≤a_n+1≤a_n+10（n∈N^*）．
（1）若{a_n}是等差数列，S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n-10≤S_n+1≤S_n+10（n∈N^*），求公差d的取值集合；
（2）若a₁，a₂，…，a_k成的比数列，公比q是大于1的整数，且a₁+a₂+…+a_k＞2017，求正整数k的最小值；
（3）若a₁，a₂，…，a_k成等差数列，且a₁+a₂+…+a_k=100，求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值．

Answer 1

分析 （1）先化简已知的式子可得-10≤a_n+1≤10，由等差数列的通项公式化简后求出d的范围，由恒成立求出公差d的取值集合；
（2）由a_n+1≤a_n+10且a₁=10得，a₂=10q≤20，求出q的范围，结合条件求出q的值，由等比数列的前n项和公式化简“a₁+a₂+…+a_k＞2017”，求出k的范围，可得正整数k的最小值；
（3）由条件和等差数列的前n项和公式化简“a₁+a₂+…+a_k=100”，求出d的表达式，由“a_n-10≤a_n+1≤a_n+10”和等差数列的定义列出不等式，由一元二次不等式的解法求出k的范围，可得到答案．

解答 解：（1）由S_n-10≤S_n+1≤S_n+10得，-10≤a_n+1≤10，
又a₁=10，∴-10≤10+nd≤10，
即$-\frac{20}{n}≤d≤0$对任意的n∈N^*恒成立，
∴d=0，即公差d的取值集合是{0}；
（2）∵a_n+1≤a_n+10，且a₁=10，∴a₂=10q≤20，则q≤2，
∵公比q是大于1的整数，∴q=2，
∴a₁+a₂+…+a_k=$\frac{10（1-{2}^{k}）}{1-2}$=10（2^k-1）≥2017，
化简得，2^k≥202.7，解得k≥8，
即正整数k的最小值是8；
（3）由条件得，a₁+a₂+…+a_k=10k+$\frac{k（k-1）}{2}d$=100，
解得d=$\frac{200-20k}{k（k-1）}$，
∵a_n-10≤a_n+1≤a_n+10，∴-10≤a_n+1-a_n≤10，
∴-10≤$\frac{200-20k}{k（k-1）}$≤10，
化简得，-k²+k≤20-2k≤k²-k，
解得k≥4，
即k的最小值是4，此时d=10．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，等比数列的前n项和公式等，考查化简、变形能力，分析问题和解决问题的能力．