Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，焦点F在直线m：y=

4

3

(x-1)上，直线m与抛物线相交于A，B两点，P为抛物线上一动点（不同于A，B），直线PA，PB分别交该抛物线的准线l于点M，N．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以MN为直径的圆C经过焦点F，且当P为抛物线的顶点时，圆C与直线m相切．

Answer 1

分析：（1）依题意可知焦点F的坐标，进而求得p，则抛物线的方程可得．
（2）把直线与抛物线方程联立，求得交点A，B的坐标，设出点P的坐标，则直线AP的斜率可表示出来，根据点斜式表示直线AP的方程，把x=-1代入求得M的纵坐标，同理可表示出直线PB的方程把x=-1代入求得N的纵坐标，进而求得

MF

•

NF

=0判断出MF⊥NF，进而可知以MN为直径的圆C经过焦点F．当P为抛物线的顶点时，t=0，可得MN中点，即圆心坐标，进而求得

CF

•

AB

=0，进而可知CF⊥AB，推断出圆C与直线m相切．

解答：解：（1）依题意，焦点F（1，0），抛物线方程为y²=4x．
（2）由

y2=4x y= 4 3 (x-1)

得4x²-17x+4=0，x₁=4，x2=

1

4

，
∴A(4，4)，B(

1

4

，-1)．
设P(

t2

4

，t)，则kPA=

t-4

t2 4 -4

=

4

t+4

，
直线PA：y-4=

4

t+4

(x-4)，令x=-1，
得yM=

4t-4

t+4

，即M(-1，

4t-4

t+4

)，
同理，直线PB：y+1=

4

t-1

(x-

1

4

)，令x=-1，得yN=

-t-4

t-1

，
即N(-1，

-t-4

t-1

)，
∴

MF

•

NF

=(2，-

4t-4

t+4

)•(2，

t+4

t-1

)=0，∴MF⊥NF，
∴以MN为直径的圆C经过焦点F．
当P为抛物线的顶点时，t=0，可得MN中点，即圆心C(-1，

3

2

)，

CF

=(2，-

3

2

)，

AB

=(-

15

4

，-5)，
∴

CF

•

AB

=0，即CF⊥AB，
∴圆C与直线m相切．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力．