Question

若x、y是正数．x、a、b、y四个数成等差数列，x、m、n、y四个数成等比数列．则

(a+b)2

mn

的取值范围是（　　）

A．[2，+∞）

B．（0，+∞）

C．（0，4]

D．[4，+∞）

Answer 1

分析：由等差数列的性质可得a+b=x+y，由等比数列的性质可得mn=xy，进而可得

(a+b)2

mn

=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2，由基本不等式计算可得

(a+b)2

mn

的最小值，可得

(a+b)2

mn

的范围，即可得答案．

解答：解：根据题意，x、a、b、y四个数成等差数列，则a+b=x+y，
x、m、n、y四个数成等比数列，则mn=xy，
则

(a+b)2

mn

=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2，
又由x、y是正数，可得

y

x

、

x

y

都是正数，
则

(a+b)2

mn

=

y

x

+

x

y

+2≥2

x y • y x

+2=4，
即

(a+b)2

mn

的最小值为4，其取值范围是[4，+∞）；
故选D．

点评：本题考查基本不等式的应用和等比、等差数列的性质及应用，关键是利用等比、等差数列的性质将

(a+b)2

mn

用x、y表示出来．