分析:(1)依题意,△A
0A
1P
1,△A
1A
2P
2,…,△A
n-1A
nP
n,…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A
0为坐标原点),从而可得结论;
(2)利用数学归纳法证明,关键是第二步:当n=k+1时,由归纳假设及
(ak-ak-1)2=ak-1+ak,得
[ak+1-]2=+an+1,由此可证;
(3)利用裂项法求出b
n,确定b
n最大值,即可求b
n<log
8t恒成立时实数t的取值范围.
解答:(1)解:依题意,△A
0A
1P
1,△A
1A
2P
2,…,△A
n-1A
nP
n,…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A
0为坐标原点),故有
xn=,
yn=,…(4分)
(2)证明:①当n=1时,可求得
a1=2=,命题成立; …(2分)
②假设当n=k时,命题成立,即有
ak=,…(1分)
则当n=k+1时,由归纳假设及
(ak-ak-1)2=ak-1+ak,得
[ak+1-]2=+an+1.
即
(ak+1)2-(k2+k+1)ak+1+[]•[]=0解得
ak+1=(
ak+1=<ak不合题意,舍去)
即当n=k+1时,命题成立. …(4分)
综上所述,对所有n∈N
*,
an=. …(1分)
(3)解:
bn=+++…+=
++…+=
-==.…(2分)
因为函数
f(x)=2x+在区间[1,+∞)上单调递增,所以当n=1时,b
n最大为
,即
bn≤.…(2分)
由题意,有
<log8t,所以t>2.
所以,t∈(2,+∞). …(2分)
点评:本题考查数学归纳法,考查裂项法求数列的和,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.