Question

已知双曲线

x2

4

-

y2

a

=1的实轴为A₁A₂，虚轴为B₁B₂，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F₂折至点F，若点F在平面A₁B₁B₂内的射影恰好是该双曲线的左顶点A₁，且直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角的正切值为

5

5

，则a=

1

．

Answer 1

分析：由题意可得直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角为∠FB₁A₁，可得

5

5

=

FA1

A1B1

=

FA1

4+a

，求得 FA₁ 的值，
直角三角形FA₁O 中，由勾股定理可得 FO²=A₁O²+FA₁²，由此求出a 的值．

解答：解：如图所示：由题意可得 实轴A₁A₂ =4，B₁B₂，=2

a

，FA₁⊥面A₁B₁B₂，
直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角为∠FB₁A₁．
∴

5

5

=

FA1

A1B1

=

FA1

4+a

，∴FA₁=

5

5

4+a

．
又FO=c=

4+a

，A₁O=2．直角三角形FA₁O 中，由勾股定理可得 FO²=A₁O²+FA₁²，
即4+a=4+

4+a

5

，解得 a=1．
故答案为：1．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于
中档题．