Question

1．函数f（x）定义在（0，$\frac{π}{2}$）上，f′（x）是它的导函数，且tanx•f（x）＞f′（x）在定义域内恒成立，则（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
• C． cos1•f（1）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x），求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．

解答 解：因为x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由tanx•f（x）＞f′（x），得f′（x）cosx＜f（x）sinx，
即f′（x）cosx-f（x）sinx＜0．
令g（x）=cosxf（x），x∈（0，$\frac{π}{2}$），
则g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＜0，
所以函数g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数，
则g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{4}$）＞g（1）＞g（$\frac{π}{3}$），
则cos（$\frac{π}{6}$）f（$\frac{π}{6}$）＞cos（$\frac{π}{4}$）f（$\frac{π}{4}$）＞cos（1）f（1）＞cos（$\frac{π}{3}$）f（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞2cos（1）f（1）＞f（$\frac{π}{3}$），
故D正确，A，B，C错误，
故选：D．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型