Question

2．求下列函数的定义域和值域．
（1）y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{x-3}}$；
（2）y=3^-|x|；
（3）y=2${\;}^{2x-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直接由指数不等于0求得原函数的值域；
（2）由-|x|≤0，结合指数函数的单调性求得函数的值域；
（3）令t=2x-x²换元，利用配方法求出t的范围，然后结合指数函数的单调性得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{x-3}≠0$，
∴（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{x-3}}$≠1，则函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{x-3}}$的值域为（0，1）∪（1，+∞）；
（2）∵-|x|≤0，
∴3^-|x|∈（0，1]，则函数y=3^-|x|的值域为（0，1]；
（3）∵t=2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
∴2${\;}^{2x-{x}^{2}}$∈（0，2]．
即函数y=2${\;}^{2x-{x}^{2}}$的值域为（0，2]．

点评 本题考查函数的值域及其求法，考查了复合函数的值域，是基础题．