Question

在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB=c,AC=b,BC=a，则

（1）a²+b²=c²；

（2）cos²A+cos²B=1；

（3）Rt△ABC的外接圆半径为r=.

    把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程;如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？

Answer 1

思路解析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以应在空间中选取有三个面两两垂直的四面体来类比，利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题提出猜想.

解：选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.

(1)设3个两两垂直的侧面的面积分别为S₁、S₂、S₃，底面面积为S，则S₁²+S₂²+S₃²=S².

(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=1.

(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a、b、c，则这个四面体的外接球的半径R=.

    利用三角形的有关性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想.