Question

（2013•南充一模）某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

Answer 1

分析：（1）根据第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，故n年的总支出函数关系可用数列的求和公式得到；再根据f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额，可得前n年的纯利润总和f（n）关于n的函数关系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得该厂从第几年开始盈利；
（2）对两种决策进行具体的比较，以数据来确定那一种方案较好．

解答：解：（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，
∴g（n）=12n+

n(n-1)

2

×4=2n2+10n（n∈N^*）…（2分）
∵f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额
∴f（n）=50n-（2n²+10n）-72=-2n²+40n-72．…（3分）
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0，解得2＜n＜18．…（5分）
由n∈N^*知，从第三年开始盈利．…（6分）
（2）方案①：年平均纯利润为

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16，
当且仅当n=6时等号成立．…（8分）
故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…（9分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．
当n=10时，[f（n）]_max=128．
故方案②共获利128+16=144（万元）．…（11分）
比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算．…（12分）

点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查解一元二次不等式，同时考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．