Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量

a

=（S_n，1），

b

=（2ⁿ-1，

1

2

），满足条件

a

=λ

b

，λ∈R且λ≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设函数f（x）=（

1

2

）^x，数列{b_n}满足条件b₁=2，f（b_n+1）=

1

f(-3-bn)

，（n∈N⁺）
（i） 求数列{b_n}的通项公式；
（ii）设 c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由

a

=λ

b

可得Sn=2n+1-2，然后利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）（ⅰ）再由f(x)=(

1

2

)x，f(bn+1)=

1

f(-3-bn)

，得到b_n+1=b_n+3，说明{b_n}是以2为首项3为公差的等差数列．由等差数列的通项公式可得b_n；
（ⅱ）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=

bn

an

，然后利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）∵

a

=λ

b

，∴

1

2

Sn=2n-1，Sn=2n+1-2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n；
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2，满足上式．
∴an=2n；
（Ⅱ）（ⅰ）∵f(x)=(

1

2

)x，f(bn+1)=

1

f(-3-bn)

，
∴(

1

2

)bn+1=

1

( 1 2 )-3-bn

，
∴

1

2bn+1

=

1

23+bn

，
∴b_n+1=b_n+3，
又∵b₁=f（-1）=2，
∴{b_n}是以2为首项3为公差的等差数列．
∴b_n=3n-1；
（ⅱ）cn=

bn

an

=

3n-1

2n

．
Tn=

2

21

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-4

2n-1

+

3n-1

2n

  ①，

1

2

Tn=

2

22

+

5

23

+

8

24

+…+

3n-4

2n

+

3n-1

2n+1

  ②，
①-②得

1

2

Tn=1+

3

22

+

3

23

+

3

24

+…+

3

2n

-

3n-1

2n+1

=1+3•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n+1

=1+

3

2

(1-

1

2n-1

)-

3n-1

2n+1

．
∴Tn=2+3(1-

1

2n-1

)-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

．

点评：本题考查了平面向量的应用，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．